\section{Möbius 反演与数论函数}

\begin{frame}{Möbius 反演}


除上述论及的多项式 (\S1.5, \S3.5) 之外， 数论还常用一些函数。 尤其是 “定义于正整数集上的复数值函数”，这称为算术（或数论）函数（arithmetic function). 现在将随时用到。 特简明地介绍，本身可谓美轮美奂。 不再专门成立一章，在第八章还将继续讨论。

德国数学家 A. F. Möbius 于 1832 引入的 $\mu$ 函数和反演， 奇妙如魔幻。

\begin{definition}%定义1
Möbius $\mu$ 函数定义如下：
对正整数 $n$, 
\[
  \mu(n)=\begin{cases}1, &\text{若 $n=1$}; \\ (-1)^{r}, & \text {若 $n=p_{1} \cdots p_r$ 是 $r$  个互异正素数之积; } \\ 0, & \text {若  $n$  含平方因子。 }\end{cases}
\]
\end{definition}
\pause
例如， $\mu(2)=-1, \mu(3)=-1, \mu(4)=0, \mu(6)=1$.

\pause
Möbius $\mu$ 函数的定义动机和关键性质， 是如下引理。

\begin{lemma}%引理1
\[
\sum_{d \mid n} \mu(d)=\varepsilon(n)\eqdef 
\begin{cases}1, & \text { 当~} n=1  \\
{0,} &{\text { 当~} n \geqslant 2 .}\end{cases}
\]
其中求和是对所有的正整数 $d \mid n$. ( $\varepsilon$ 称为\emph{卷积单位函数}。)
\end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}
   设 $n=p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}>1$, 则
 \[
   \begin{aligned}
   \sum_{d \mid n} \mu(d) & =\sum_{c_{i}=0,1} \mu\left(p_{1}^{c_{1}} \cdots p_{s}^{c_{s}}\right) \\
   & =\mu(1)+\sum_{i} \mu\left(p_{i}\right)+\sum_{i, j\text{~互异}} \mu\left(p_{i} p_{j}\right)+\sum_{i, j, k\text{~互异}} \mu\left(p_{i} p_{j} p_{k}\right)+\cdots+\mu\left(p_{1} \cdots p_{s}\right) \\
 & =1-\binom{s}{1}+\binom{s}{2}-\binom{s}{3}+\cdots+(-1)^{s}=(1-1)^{s}=0.
 \end{aligned}
 \]
 \end{proof}

 \pause
 \begin{theorem}%定理1
   [Möbius 反演，Möbius inversion]
   设 $f, g$ 为算术函数，则
 \[
   g(n)=\sum_{d \mid n} f(d) \quad(\forall n\in \NN) \quad \text { 当且仅当 } \quad f(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d)g\left( \frac{n}{d} \right)\quad(\forall n\in \NN),
 \]
 其中求和的指标$d$都是遍历 $n$ 的所有正整数因子。
 \end{theorem}

 对算术函数$f$, 函数$g\colon n\mapsto \sum_{d \mid n} f(d)$称为$f$的\emph{和函数}；$f$的和函数亦记作$\sigma_{/f}$.

 \pause
 Möbius 反演公式是 Dedekind (戴德金)在 1857 年提出， 其最触及本质的证明， 是用 Dirichlet 卷积 (Dirichlet convolution). 
 \end{frame}

 \begin{frame}
函数 $f$ 与 $g$ 的普通乘积 (亦称为\emph{逐点乘积}) 记为 $f g$ 或 $f \cdot g$, 定义为
 \[
 (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x);
 \]
 正整数集到复数域的映射的集合$\Hom(\NN, \CC)$ 在逐点加法和逐点乘法下构成环。
   而 Dirichlet 卷积 (简称\emph{卷积}) $f * g$ 是函数的另一种 “乘积”, 频繁用于数论的乘法问题。
   \begin{definition}%定义2
     对数论函数 $f$ 和 $g$, 其 \emph{Dirichlet 卷积} $f * g$ 定义如下：
 \[
 (f * g)(n)=\sum_{d \mid n} f(d) g(n / d)=\sum_{d_{1} d_{2}=n} f\left(d_{1}\right) g\left(d_{2}\right),
 \]
 其中求和是对所有正整数 $d \mid n$, 或满足 $d_{1} d_{2}=n$ 的正整数对 $\left(d_{1}, d_{2}\right)$.
 \end{definition}

 \pause
 易知， Dirichlet 卷积满足交换律、结合律， 及对普通加法的分配律， 即对任意 $f, g, h$ 有
 \[
   \begin{aligned}
   f * g&= g * f,\\
(f+g) * h&= f * h+g * h,\\
   (f * g) * h&= f *(g * h), \\
 ((f * g) * h)(n)&= \sum_{d_{1} d_{2} d_{3}=n} f\left(d_{1}\right) g\left(d_{2}\right) h\left(d_{3}\right) .
 \end{aligned}
 \]

\pause
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{example}%例1
     以 $\varepsilon$ 记 \emph{Dirichlet 卷积的单位元} (单位元函数， identity function), 定义为
     \[
       \varepsilon(1)=1, \quad \varepsilon(n)=0 \quad(\forall n \geqslant 2).
     \]
     于是知 $(f * \varepsilon)(n)=\sum_{d \mid n} f(d) \varepsilon(n / d)=f(n)$ (对 $\left.\forall f\right)$. 故
       \[
         f * \varepsilon=f.
       \]
     \end{example}

     \pause
  \begin{example}%例2
    以 $1$ 表示 “取常数值 $1$”的函数（\emph{常值 $1$-函数}），即
  $1(n)=1$ (对任意 $n$).
此函数 $1$ 是函数普通乘法的单位元 (故也有人称为单位函数), 但非 Dirichlet 卷积的单位元。
\pause
 $f$ 与 $1$ 的卷积 实为对 $f$ 在因子上的 “求和”, 即
\[
(f * 1)(n)=\sum_{d \mid n} f(d)=\sigma_{/ f}(n)
\]
故 $f * 1$ 是$f$的和函数:
\[
  f * 1=\sigma_{/ f}.
\]
\end{example}

\pause
于是， 用 Dirichlet 卷积语言， 引理 1 和定理 1 分别化为：
 \end{frame}

 \begin{frame}
\begin{theorem*}[引理 1' (Möbius $\mu$ 函数是 $\mathbf{1}$ 的卷积逆 (Dirichlet 逆))]
  $\mu * 1=\varepsilon$.
\end{theorem*}
\pause


\begin{theorem*}[定理 1' (Möbius 反演)] $g=f * 1 \Leftrightarrow f=\mu * g$.
\end{theorem*}

\begin{proof}
 $\quad g=f * 1 \Leftrightarrow \mu * g=f * 1 * \mu=f * \varepsilon=f$.
 \end{proof}

 \pause
 因此， 算术函数集 $F=\Hom(\NN, \CC)$ 对 Dirichlet 卷积（和普通加法）是一个含幺交换环 $(F,+, *)$,
 称为 \emph{Dirichlet (卷积) 函数环}。 
 其卷积单位元为 $\varepsilon$, 加法单位元为 $0$ (即取值恒为 $0$ 的函数). 而函数 $\mu$ 与 $1$ 互为逆。

 \pause
  \begin{remark}%注记1
    \label{Mobius反演的乘积形式}
  设 $f, g$ 为定义于正整数上的函数。 若 $f, g$ 取值于一个加法 Abel 群 $A$, 则定理 1 仍然成立， 证明与上述完全一样。 
  而若 $f, g$ 取值于一个乘法 Abel 群 $G$, 则定理 1 化为下述 “乘法形式”, 仍然成立（且证明与上述类似）:
\[
  g(n)=\prod_{d \mid n} f(d)\quad \Leftrightarrow \quad f(n)=\prod_{d \mid n} g\left(\frac{n}{d}\right)^{\mu(d)}.
\]
\end{remark}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}%例3
  由例 2 知， $1 * 1=\sigma_{/ 1}$, 即
\[
  (1 * 1)(n)=\sigma_{/ 1}(n)=\sum_{d \mid n} 1(d)=\sum_{d \mid n} 1.
\]
记 $1 * 1=\sigma_{/ 1}=\sigma_{0}$, 称为 \emph{$0$ 次因子函数} (divisor function) 或除数函数， $\sigma_{0}(n)$ 为 $n$的正因子个数：
\[
  \sigma_{0}(n)=\sum_{d \mid n} d^{0}=\sum_{d \mid n} 1.
\]
\end{example}

\pause
\begin{corollary}%系1
\[
  \sigma_{0}\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)
  =\left(e_{1}+1\right) \cdots\left(e_{s}+1\right)
  =\sigma_0(p_1^{e_1})\cdots \sigma_0(p_s^{e_s}).
\]
%特别， $\sigma_{0}(p)=2$.
\end{corollary}

\pause
\begin{proof}
  设 $n=p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}$ 为其素数因子分解， 
  其正因子恰为 $d=p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{s}^{k_{s}}, 0 \leqslant k_{i} \leqslant e_{i}$, 
  故因子 $d$ 的个数为 $\left(e_{1}+1\right) \cdots\left(e_{s}+1\right)$. 
  取$s=1$知$\sigma_0(p^e)=e+1$. 因此
  $\sigma_{0}\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)= 
\sigma_0(p_1^{e_1})\cdots \sigma_0(p_s^{e_s}).$
\end{proof}

 \end{frame}

 \begin{frame}

 \begin{example}%例4
   令$\operatorname{Id}$ 为恒等函数， 即 $\operatorname{Id}(n)=n$ ($\forall n$).
   与$1$卷积得 $\operatorname{Id} * 1=\sigma_{\text {Id }}$, 记为 $\sigma_{1}$, 即
 \[
   \sigma_{1}(n)=(\operatorname{Id} * 1)(n)=\sum_{d \mid n} d.
 \]
 故 $\sigma_{1}(n)$ 为 $n$ 的正因子之和， 称为 \emph{$1$ 次因子函数} (除数函数). 
 \end{example}

 \pause
   \begin{corollary}%系2
   \[
     \sigma_{1}\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)
     =\frac{p_{1}^{e_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdots \frac{p_{s}^{e_{s}+1}-1}{p_{s}-1}
     =\sigma_1(p_1^{e_1})\cdots \sigma_1(p_s^{e_s}).
 \]
 %特别， $\sigma_{1}(p)=p+1$.
 \end{corollary}

 \begin{proof}
 \[
 \begin{aligned}
    \sigma_{1}\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)&=  \sum_{0 \leqslant k_{i} \leqslant e_{i}} p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{s}^{k_{s}}=\left(\sum_{0 \leqslant k_{1} \leqslant e_{1}} p_{1}^{k_{1}}\right) \cdots\left(\sum_{0 \leqslant k_{s} \leqslant e_{s}} p_{s}^{k_{s}}\right) \\
     &= \frac{p_{1}^{e_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdots \frac{p_{s}^{e_{s}+1}-1}{p_{s}-1}.
   \end{aligned}
 \]
 取$s=1$知$\sigma_1(p^e)=\frac{p^{e+1}-1}{p-1}$.
 进而可知$\sigma_{1}\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)=
\sigma_1(p_1^{e_1})\cdots \sigma_1(p_s^{e_s}).$
 \end{proof}
 \end{frame}


 \begin{frame}
   M\"obius反演可以用来构造许多新的等式，这些等式可能难用别的方法证明。

   \begin{example}
     $\sigma_0=1*1$, $\sigma_1=\operatorname{Id}*1$ 分别为$1, \operatorname{Id}$的和函数。
     由M\"obius反演可得
     \[
       \begin{aligned}
         1= \sum_{d\mid n} \mu\left( \frac{n}{d} \right) \sigma_0(d),\quad
         n= \sum_{d\mid n} \mu\left( \frac{n}{d} \right) \sigma_1(d).
       \end{aligned}
     \]
   \end{example}

   \pause
   \begin{example}
    对 Euler 函数 $\varphi$, \S2.3 系 1 有结果
   \[
     \sum_{d \mid n} \varphi(d)=n,
   \]
  即是 $\varphi * 1=\operatorname{Id}$.
  \pause
 对此反演， 得 $\varphi=\mu * \operatorname{Id}$, 故对 $n=p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}$ 有
  \[\small
     \begin{aligned}
       \varphi(n) & =\sum_{d \mid n} \mu(d) \frac{ n }{ d}
        = n-\sum_{i} \frac{n }{ p_{i}}+\sum_{i, j\text{~互异}} \frac{ n }{ p_{i} p_{j}} -\sum_{i, j, k\text{~互异}} \frac{n }{ p_{i} p_{j} p_{k}} +\cdots + (-1)^s\frac{n}{p_1\cdots p_s} \\
        & =n\left(1-\frac{1}{ p_{1}} \right) \cdots\left(1- \frac{1}{ p_{s}} \right).
      \end{aligned}
     \]
     这是§2.3 定理 2.
 \end{example}

 \pause
 我们再来看个M\"obius反演的乘积形式的例子。
\end{frame}

 \begin{frame}

   \begin{example}
     $z\in \CC^*$称为\emph{本原$n$次(复)单位根}，若$\ord(z)=n$.
     令$W_n=\{ 1, \zeta_n, \zeta_n^2, \cdots, \zeta_n^{n-1}\}$, 其中$\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$.
     这是$x^n-1\in \CC[x]$的根集的集合，是$n$阶循环 (乘法) 群。
   $W_n$的生成元恰为本原$n$次单位根，也就是说形如$\zeta_n^k$, 其中$(k,n)=1, 1\leqslant k<n$.
     对正整数$n$, $n$阶分圆多项式$\Phi_n(x)$定义为
     \[
       \Phi_n(x)=\prod_{\substack{(k,n)=1\\ 1\leqslant k<n}} (x-\zeta_n^k).
     \]
     当$k$跑遍右边乘积的指标集时，
     $\zeta_n^k$恰好遍历了所有的本原$n$次单位根。
     %对每个$d\mid n$, $W_n$中有$\varphi(d)$个$d$阶元，这些复数恰好构成所有的本原$d$次单位根。
     %反过来，每个$W_n$中元素$\zeta_n^k$是一个本原$d$次单位根 (即$\ord(\zeta_n^k)=d$)，对某个$d\mid n$. 因此，
    容易发现  
     \[\small
       W_n=\bigcup_{d\mid n}\{\text{本原$d$次单位根}\}.
     \]
     由此立得
     \[
       x^n-1=\prod_{z\in W_n}(x-z)=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x).
     \]
     应用乘积形式的M\"obius反演，%
     \footnote{
       令$G=\CC(x)^*$为复数域上非零的有理函数的全体，再令$f(n)=\Phi_n(x), g(n)=x^n-1$.
     然后应用注记~\ref{Mobius反演的乘积形式}。}
     我们得
     \[
       \Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(\frac{n}{d})}.
     \]
     特别地，$\Phi_n(x)$为首一的整系数多项式。
   \end{example}
 \end{frame}



\begin{frame}
  \begin{corollary}[对数与卷积逐点相乘是“微分式的”]%系4
   \color{gray}
   \[\log \cdot(f * g)=(\log \cdot f) * g+f *(\log \cdot g).\]
 \end{corollary}

\pause
 \begin{proof}
\color{gray}
  \[
     \begin{aligned}
       [\log \cdot(f * g)](n)
       = & \log n \sum_{d \mid n} f(d) g(n / d)=\sum_{d \mid n} \log n f(d) g(n / d) \\
      = & \sum_{d \mid n}[\log d+\log (n / d)] f(d) g(n / d) \\
     = & \sum_{d \mid n}(\log d) f(d) g(n / d)+\sum_{d \mid n}(\log n / d) f(d) g(n / d) \\
    = & {[(\log \cdot f) * g+f *(\log \cdot g)](n) . }
   \end{aligned}
  \]
 \end{proof}
 
 \pause
 \begin{definition}%定义3
 设 $f$ 为算术函数， 不恒为 $0$.

 (1) 若 $f(m n)=f(m) f(n)$ 对互素整数 $m, n$ 成立， 则称 $f$ 为\emph{积性函数} (multiplicative function).

 (2) 若 $f(m n)=f(m) f(n)$ 对任意整数 $m, n$ 成立， 则称 $f$ 为\emph{完全积性函数} ( completely multiplicative function).
 \end{definition}


\end{frame}


\begin{frame}
  显然积性函数 $f, g$ 的普通积 $f g$ (即 $(f g)(n)=f(n) g(n))$ 为积性函数， 商 $f / g$ 也为积性函数 (设无处取值为零的$g$).

  \pause
 \begin{lemma}%引理2
  算术函数 $f$ 为积性函数当且仅当 $f(1)=1$, 且
 \[
  f\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)=f\left(p_{1}^{e_{1}}\right) \cdots f\left(p_{s}^{e_{s}}\right) ;
 \]
  而 $f$ 为完全积性函数当且仅当 $f(1)=1$, 且
 \[
  f\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{s}^{e_{s}}\right)=f\left(p_{1}\right)^{e_{1}} \cdots f\left(p_{s}\right)^{e_{s}}
 \]
  （均为对任意$n=p_1^{e_1}\cdots p_s^{e_s}$成立，$p_i$为互异素数，$i=1,\cdots,s$）。
 \end{lemma}

  \begin{proof}
    取$n$使得$f(n)\neq 0$. 由 $f(n \cdot 1)=f(n) \cdot f(1)$ 可知 $f(1)=1$. 其余显然。
\end{proof}

通常约定 “无物相加为 $0$”、“无物相乘为 $1$”. 如此则引理 2 中的条件 $f(1)=1$可略去。

\pause
我们知道$\varphi$ 为积性函数；
Möbius $\mu$ 函数显然也是积性函数；
由系 1 - 系 2 知 $\sigma_{0}, \sigma_{1}$是积性函数；
不过它们均非完全积性函数 (可取 $n=2\cdot 2$看出)。
\pause
易知 Dirichlet 卷积单位元 $\varepsilon$, 常数值函数 $1$, 及恒等函数 $\operatorname{Id}$ 都是完全积性函数。

 \end{frame}

 \begin{frame}
\begin{theorem}%定理2
(1) 积性函数的 Dirichlet 卷积仍是积性函数。

 (2) 若 $f(n)=\sum_{d \mid n} g(d)$, 则 $f$ 为积性函数当且仅当 $g$ 为积性函数。

  (3) 若算术函数 $f$ 使 $f(1) \neq 0$, 则 $f$ 有唯一的 Dirichlet 卷积逆。

 (4) 积性函数均有 Dirichlet 卷积逆，其也是积性函数。
 \end{theorem}
事实上， 算术函数集对 Dirichlet 卷积和普通加法构成交换环， 其可逆元为
 满足 $f(1) \neq 0$ 的所有算术函数 $f$. 
 而积性函数集对 Dirichlet 卷积构成 Abel 群。

 \pause
   \begin{proof}
     (1) 设 $m, n$ 互素。 则
   \[
     \begin{aligned}
       (f * g) (m) \cdot(f * g) (n) & =\sum_{d \mid m} f(d) g(m / d) \cdot \sum_{\delta \mid n} f(\delta) g(n / \delta) \\
   & =\sum_{d|m, \delta| n} f(d \delta) g(m n / d \delta)
   = \sum_{D \mid m n} f(D) g(m n / D) \\
   & =(f * g)(m n).
 \end{aligned}
 \]
 \pause
  (2) 条件相当于 $f=g * 1$. 因 $1$ 为积性函数， 故由 (1) 知若 $g$ 为积性函数，则 $f$ 为积性函数。 而条件可改写为 $f * \mu=g$ 且 $\mu$ 为积性函数， 故由 (1) 知若 $f$ 为积性函数， 则 $g$ 为积性函数。

\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
(3) 欲求 $g$ 满足： (i) $g(1) f(1)=1$ 和 (ii) $\sum_{d \mid n} g(d) f(n / d)=0$ ($n \geqslant 2$).
\pause
我们对$n$归纳来证明$g(n)$存在且惟一。
(i) 式唯一决定了 $g(1)$.  (ii) 式相当于
\[
  g(n) f(1)+\sum_{d \mid n, d<n} g(d) f(n / d)=0.
\]
由归纳假设，
和式中只涉及 $d<n$ 时的 $g(d)$已惟一地确定，
故此式唯一决定了 $g(n)$. 由数学归纳法， 定理得证。

\pause
(4) 若$f$为积性函数，则由引理2知$f(1)=1$. 进而由(3)知$f$有卷积逆。
令$g$为$f$的卷积逆，即$g * f=\varepsilon$. 
\pause
令$m, n$ 互素， 欲证 $g(m n)=g(m) g(n)$. 我们对$N=mn$归纳。
由(3)(i)知$g(1)=1$, 故
   $g(1 \cdot 1)=g(1) g(1).$
   \pause
 由归纳假设，$1 \leqslant d \delta<m n=N$ 时 $g(d \delta)=g(d) g(\delta)$. 
 这样 
 对 $m n>1$ 有
 \[
   \begin{aligned}
     0=\varepsilon(mn)&= (g * f)(m n)  =\sum_{D \mid m n} g(D) f(m n / D)=\sum_{d|m, \delta| n} g(d \delta) f(m n / d \delta) \\
   &= \sum_{d\mid m}\sum_{\delta\mid n} g(d \delta) f(m n / d \delta) +g(m)g(n)-g(m)g(n)\\
 & =\sum_{d \mid m} \sum_{\delta \mid n} g(d) g(\delta) f(m / d) f(n / \delta)+g(m n)-g(m) g(n) \\
 & =(g * f) (m) \cdot(g * f)( n) +g(m n)-g(m) g(n) \\
 & =g(m n)-g(m) g(n).
 \end{aligned}
 \]
 \end{proof}

  \end{frame}

 \begin{frame}
   \small
   \begin{table}  \begin{center}
          \caption*{算术函数简表}
             \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
                  \hline
                   $f$ & $f(1)$ & $f(n), n>1$ & $f\left(p^{s}\right)$ & 公式 & 性质说明 & 积性 \\
                  \hline
                 $\varepsilon$ & 1 & 0 & 0 & $f * \varepsilon=f(\forall f)$ & 卷积单位元 & 完全 \\
                \hline
               1 & 1 & 1 & 1 & \begin{tabular}{l}
                $\mu * 1=\varepsilon$ \\
               $f * 1=\sigma_{l f}$ \\
              \end{tabular} & \begin{tabular}{c}
               常值 $1$. \\
               $\mu$ 的卷积逆。 \\
              $* 1$ 等同求和。 \\
             \end{tabular} & 完全 \\
            \hline
            Id & 1 & $n$ & $p^{s}$ & $\varphi * 1=\operatorname{Id}$ & \begin{tabular}{c}
              恒等函数，\\
           $\varphi$ 的和 
\end{tabular}
           & 完全 \\
          \hline
         $\mu$ & 1 & \begin{tabular}{c}
          $(-1)^{r}$或 $0$ \\
         ($n=p_{1} \cdots p_{r}$\\
           互异或 \\
        含平方因子) \\
       \end{tabular} & \begin{tabular}{c}
        $-1,0$ \\
       $($ 当 $s=1$ \\
        $>1$ \\
       \end{tabular} & \begin{tabular}{c}
        $\mu * 1=\varepsilon$; \\
       $g=f * 1$\\
       \rotatebox{90}{$\Leftrightarrow$} \\
       $f=\mu * g$ \\
      \end{tabular} & \begin{tabular}{l}
       Möbius $\mu$ 函数。 \\
      $1$ 的卷积逆。\\
      反演 \\
     \end{tabular} & 积性 \\
    \hline
   $\varphi$ & 1 & \begin{tabular}{l}
    $\sharp \{1 \leqslant a<n\mid $ \\
     $(a, n)=1\}$ \\
    \end{tabular} & $p^{s}-p^{s-1}$ & \begin{tabular}{l}
     $\varphi * 1=\operatorname{Id}$ \\
    $\varphi=\mu * \operatorname{Id}$ \\
   \end{tabular} & $\varphi(m)=\sharp U_m$ & 积性 \\
  \hline
 $\sigma_{0}$ & 1 & $\sum_{d \upharpoonright n} 1$ & $s+1$ & $\sigma_{0}=1 * 1$ & 正因子个数 & 积性 \\
  \hline
 $\sigma_{1}$ & 1 & $\sum_{d \mid n} d$ & \begin{tabular}{l}
   $\frac{p^{s+1}-1}{p-1}$
  \end{tabular} & $\sigma_{1}=1 * \operatorname{Id}$ & 正因子之和 & 积性 \\
 \hline
  $\lambda$ & 1 & \begin{tabular}{c}
   $(-1)^{k}$ \\
  ($n=p_{1} \cdots p_{k}$\\
  可重) \\
 \end{tabular} & $(-1)^{s}$ & $\lambda * 1=s$ & Liouville 函数 & 完全 \\
  \hline
 $s$ & 1 & \begin{tabular}{c}
  1,0 \\
 $\left(n=m^{2}\right.$ 或否 $)$ \\
  \end{tabular} & \begin{tabular}{l}
   $1,0(s$ 为偶 \\
    数或奇数) \\
   \end{tabular} &  & 平方特征函数 & 完全 \\
  \hline
 \end{tabular}
  \end{center}
\end{table}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   我们还将在 \S8.6 讨论数论函数。
   \begin{comment*}%评述
   数论函数体现了数论、代数、分析、几何、组合等方法在数论中的联合用武， 威力难量， 色彩缤纷。 其中尤以 Möbius函数和反演， 奇如魔幻，有点金之玄妙， 似将因果颠倒。 而卷积是对不同时期的自变量相乘之和， 函数对卷积竟成 Abel 群。 奥妙的关键点在于 Möbius $\mu$ 函数是 $1$ 的卷积逆， 因而皆可从 $1$ 反翻出来， 犹如无中生有。 论数者单赞这 “Möbius 反演之妙”曰：
 \begin{poem}
  妙哉魔氏反演术，颠倒因果翻今古。\\
 前世今生相卷积， 一为璆逆觉醍醐。
 \end{poem}
 \end{comment*}\end{frame}

 \begin{frame}{小结}
   \begin{enumerate}
     \item 何为M\"obius $\mu$函数？
     \item 何为 Dirichlet 卷积？有何性质？
     \item Dirichlet卷积的单位元是哪个算术函数？
     \item 用常值$1$-函数卷积是何效果？常值$1$-函数的卷积逆是？
     \item $\mu, 1, \operatorname{Id}, \varphi$的和函数分别为？
     \item 何为M\"obius反演？其乘积形式如何？举例说明。
     \item 何为积性函数？何为完全积性函数？等价刻画？列举相关的例子。
     \item 说说积性函数的性质。
   \end{enumerate}
 \end{frame}
